Manim实现动态交点计算--从一个动点问题说起

2026/6/30 4:53:07

从一个初中题目说起

先来看一道经典的初中动点问题：

这个题目中，当点$ E 和 F 在线段 AD 上移动时，点 H 和 G $都随之变换。

题目如何解答我们不用管，我们的重点是如何实现点$ E 和 F 移动时，实时的更新点 H 和 G $。

2. 解决方案：用Sympy解方程组

这里简单说明下，Sympy是一个Python的符号计算库，可以像数学课本那样进行代数运算。

它能解方程、求导积分、化简表达式，最重要的是能精确求解方程组，返回的是精确的数学解而不是近似值。

我们实现这个动画效果时，是根据两个直线的方程来求解它的交点的，如果没有Sympy，我们要手动推导直线方程、联立求解，代码会非常冗长且容易出错。

从后面的代码你可以看出，Sympy让我们只需"翻译"数学表达式，就能得到精确结果，大大简化了代码逻辑。

我们的思路很简单：

已知两个点的坐标，可以求出直线方程
已知两条直线方程，联立求解得到交点坐标

在Python中，用Sympy这个符号计算库来实现再合适不过了。

2.1. 第一步：定义求直线方程的函数

from sympy import Symbol, solve def get_line(p1, p2): """已知两点，求直线y = kx + b的k和b""" k = Symbol("k") b = Symbol("b") expr1 = p1[0] * k + b - p1[1] expr2 = p2[0] * k + b - p2[1] ret = solve((expr1, expr2), dict=True) return {"k": ret[0][k], "b": ret[0][b]}

2.2. 第二步：定义求交点的函数

def cross_points(l1, l2): """已知两条直线方程，求交点坐标""" x = Symbol("x") y = Symbol("y") expr1 = l1["k"] * x + l1["b"] - y expr2 = l2["k"] * x + l2["b"] - y ret = solve((expr1, expr2), dict=True) return np.array((float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0))

有了这两个函数，我们就可以在Manim中动态更新交点了。

2.3. 完整的Manim动画实现

from manim import * import numpy as np from sympy import Symbol, solve class DynamicCrossPoint(Scene): def construct(self): # 定义矩形的顶点坐标 points = { "A": np.array([-2.5, 2, 0]), "B": np.array([-2.5, -3, 0]), "C": np.array([2.5, -3, 0]), "D": np.array([2.5, 2, 0]), } # 初始动点的位置 points["E"] = np.array([-0.52, 2, 0]) # E在AB上 points["F"] = np.array([0.52, 2, 0]) # F在CD上，且AE=CF # 画矩形 rectangle = Polygon( points["A"], points["B"], points["C"], points["D"], stroke_width=3, color=GREEN ) self.play(Create(rectangle)) # 创建初始的点和线 d_e = Dot(points["E"], radius=0.05, color=BLUE) d_f = Dot(points["F"], radius=0.05, color=BLUE) d_h = Dot(points["A"], radius=0.05, color=YELLOW) # 初始随便放 l_bf = Line(points["B"], points["E"], color=BLUE, stroke_width=2) l_ce = Line(points["C"], points["F"], color=BLUE, stroke_width=2) l_bd = Line(points["B"], points["D"], color=GREEN, stroke_width=2) self.play(Create(VGroup(l_bf, l_ce, l_bd, d_e, d_f, d_h))) # 核心部分：设置更新器 # F点随着E点移动（保持AE=CF的关系） d_f.add_updater( lambda z: z.become( Dot(points["D"] - (d_e.get_center() - points["A"]), radius=0.05, color=BLUE) ) ) # H点是BF和CE的交点 d_h.add_updater( lambda z: z.become( Dot( cross_points( get_line(points["B"], d_e.get_center()), # BF get_line(points["C"], d_f.get_center()), # CE ), radius=0.05, color=YELLOW ) ) ) # 更新线段 l_bf.add_updater( lambda z: z.become( Line(points["B"], d_e.get_center(), color=BLUE, stroke_width=2) ) ) l_ce.add_updater( lambda z: z.become( Line(points["C"], d_f.get_center(), color=BLUE, stroke_width=2) ) ) # 让E点动起来 self.play(d_e.animate.shift(LEFT * 1.5), run_time=3) self.play(d_e.animate.shift(RIGHT * 3), run_time=6) self.play(d_e.animate.shift(LEFT * 1.5), run_time=3) # 清理更新器 for mob in [d_f, d_h, l_bf, l_ce]: mob.clear_updaters() self.wait()