用SymPy自动计算抛物线求根、判别式与顶点

2026/6/23 19:41:23

痛点场景还原

假设我要做一个演示：固定a=1, c=2，让b从 -3 滑到 3，观察抛物线与 x 轴交点个数的变化。
如果纯手算，我可能会这样写Manim代码：

from manim import * import math class PainfulDemo(Scene): def construct(self): a, c = 1, 2 b_tracker = ValueTracker(-3) axes = Axes(x_range=[-5,5], y_range=[-1,6]) # 抛物线 graph = always_redraw(lambda: axes.plot( lambda x: a*x**2 + b_tracker.get_value()*x + c )) # 计算交点 —— 这里就是噩梦开始的地方 def get_roots(): b = b_tracker.get_value() disc = b**2 - 4*a*c if disc >= 0: root1 = (-b + math.sqrt(disc)) / (2*a) # 负数平方根直接报错 root2 = (-b - math.sqrt(disc)) / (2*a) return [root1, root2] else: return [] # 如果忘了判断，上面一行就炸了 dots = always_redraw(lambda: VGroup(*[ Dot(axes.coords_to_point(r, 0)) for r in get_roots() ])) self.add(axes, graph, dots) self.play(b_tracker.animate.set_value(3), run_time=5) self.wait(1)

我必须手动写出求根公式，反复检查符号。
判别式<0时要手动跳过，否则math.sqrt抛异常，动画中断。
得到的只是浮点近似值，不能显示精确的根式表达（如 √22）。
如果再加「自动标注顶点」，还得再手算一次导数或配方法。

这些体力活完全可以交给符号计算库SymPy，让动画代码只关心“展示什么”，而不是“怎么算”。

2. SymPy 解决方案介绍

SymPy 可以帮我们把求根、判别式计算、顶点坐标求解全部自动化，而且返回精确的符号表达式。

import sympy as sp x = sp.Symbol('x', real=True) a_val, c_val = 1, 2 b_sym = sp.Symbol('b') # 定义二次函数 expr = a_val * x**2 + b_sym * x + c_val # 1. 判别式 delta = b_sym**2 - 4 * a_val * c_val # b² - 8 # 2. 求根 —— 一行搞定，自动给出含根号的精确解 roots = sp.solve(expr, x) # 输出：[-b/2 - sqrt(b**2 - 8)/2, -b/2 + sqrt(b**2 - 8)/2] # 3. 求顶点（导数求极值） vertex_x = sp.solve(sp.diff(expr, x), x)[0] # -b/2 vertex_y = expr.subs(x, vertex_x) # 代入得到顶点纵坐标

solve返回的根自带根号，当判别式<0时，它会变成复数形式（如-b/2 - I*sqrt(8 - b**2)/2），我们只需判断虚部是否为 0 就能筛出实根。
顶点坐标也不用背公式，diff求导 +solve一步到位。

在Manim中，我们只需要把数值b传入SymPy表达式，调用evalf()就可以快速得到高精度结果，彻底告别手写公式。

3. Manim 联动实战

下面是一个完整的动画场景：b变化时，抛物线、交点、顶点、判别式与交点个数文本全部自动更新。

from manim import * import sympy as sp class QuadraticRootDance(Scene): def construct(self): # ========== SymPy 符号准备 ========== x_sym = sp.Symbol("x", real=True) a_val, c_val = 1, 2 # 固定 a, c，只让 b 变化 b_sym = sp.Symbol("b") expr = a_val * x_sym**2 + b_sym * x_sym + c_val # 判别式表达式 delta_expr = b_sym**2 - 4 * a_val * c_val # b² - 8 # 顶点 x 坐标（求导） vertex_x_expr = sp.solve(sp.diff(expr, x_sym), x_sym)[0] # -b/2 # 顶点 y 坐标 vertex_y_expr = expr.subs(x_sym, vertex_x_expr) # ========== Manim 场景搭建 ========== axes = Axes( x_range=[-5, 5, 1], y_range=[-1, 7, 1], axis_config={"include_numbers": True, "font_size": 18}, tips=False, ).add_coordinates() self.play(Create(axes)) b_tracker = ValueTracker(-3) # b 初始值 -3 # 抛物线：always_redraw 保证系数一更新图像就重绘 graph = always_redraw( lambda: axes.plot( lambda x: a_val * x**2 + b_tracker.get_value() * x + c_val, color=BLUE ) ) self.add(graph) # 交点集合（实心圆点） roots_dots = always_redraw( lambda: self.get_roots_dots(axes, b_tracker, x_sym, expr) ) self.add(roots_dots) # 顶点标记 vertex_dot = always_redraw( lambda: self.get_vertex_dot(axes, b_tracker, vertex_x_expr, vertex_y_expr) ) self.add(vertex_dot) # 动态文本：判别式 & 交点个数 info_text = always_redraw( lambda: self.get_info_text(b_tracker, delta_expr, x_sym, expr) ) info_text.to_corner(UR) self.add(info_text) # 动画：b 从 -3 滑到 3 self.play(b_tracker.animate.set_value(3), run_time=5, rate_func=linear) self.wait() # ---------- 辅助方法（内部封装 SymPy 计算）---------- def get_roots_dots(self, axes, tracker, x_sym, expr): """返回当前参数下所有实根对应的 Dot""" b_val = tracker.get_value() # 用 SymPy 解方程，并数值化 roots = sp.solve(expr.subs("b", b_val), x_sym) real_roots = [] for r in roots: r_num = complex(r.evalf()) # 转为 Python 复数判断虚实 if abs(r_num.imag) < 1e-8: # 虚部为 0 -> 实根 real_roots.append(r_num.real) # 为每个实根创建红点 dot_group = VGroup() for rx in real_roots: dot_group.add(Dot(axes.coords_to_point(rx, 0), color=RED)) return dot_group def get_vertex_dot(self, axes, tracker, vx_expr, vy_expr): """返回顶点位置的 Dot""" b_val = tracker.get_value() vx = float(vx_expr.subs("b", b_val).evalf()) vy = float(vy_expr.subs("b", b_val).evalf()) return Dot(axes.coords_to_point(vx, vy), color=YELLOW) def get_info_text(self, tracker, delta_expr, x_sym, expr): """生成判别式与交点个数的信息文本""" b_val = tracker.get_value() delta_val = float(delta_expr.subs("b", b_val).evalf()) # 判断实根个数（用 solve 求全部根，再筛实根） roots = sp.solve(expr.subs("b", b_val), x_sym) real_count = sum(1 for r in roots if abs(complex(r.evalf()).imag) < 1e-8) text1 = MathTex( f"\\Delta = {delta_val:.2f}", tex_to_color_map={f"\\Delta = {delta_val:.2f}": GREEN}, font_size=24, ) text2 = MathTex( f"\\text{{交点个数：}}{real_count}", tex_template=TexTemplateLibrary.ctex, font_size=24, ) text = VGroup(text1, text2).arrange(RIGHT, buff=1).shift(UP) return text

关键点解释：

用SymPy提前准备好符号表达式，always_redraw里只做数值代入 + 求值，保证运行流畅。
用complex(r.evalf()).imag判断虚部是否为 0，优雅地区分实根与复根，完全不用手动写条件分支。
顶点坐标直接由diff推导，动画中总有一个黄色圆点稳稳跟随抛物线顶点。
左上角文本实时显示判别式的值和交点个数，看一眼就能对应上「$ \Delta >0 两个交点，两个交点， \Delta=0 一个交点，一个交点， \Delta<0 $无交点」。

4. 效果展示说明

运行这个场景，你会看到：

一根蓝色抛物线，开口向上（a=1），与 y 轴交于 2。
随着b从-3匀速滑到3：
- 开始b=-3时，判别式 Δ=1>0Δ=1>0，抛物线与 x 轴有两个红色交点。
- 当 b 经过 $ -\sqrt{8} \approx -2.828 时，两交点靠拢，∗∗重合为一个点∗∗（时，两交点靠拢，∗∗重合为一个点∗∗（ \Delta=0 $），此时左上角显示「交点个数：1」。
- 紧接着 ΔΔ变成负数，所有红点消失，抛物线悬浮在x轴上方，与x轴无交点。
- 当 b 跨越 √88时，两点再次出现并逐渐远离。
整个过程，黄色顶点一直精准地落在抛物线最低点，随b移动而滑动。
左上角的 ΔΔ 数值和交点个数同步刷新，完全不需要手动干预。