函数

函数的概念

初中定义

在一个变化过程中，如果有两个变量 \(x\) 与 \(y\)，并且对于 \(x\) 的每一个确定的值，\(y\) 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说 \(x\) 是自变量，\(y\) 是 \(x\) 的函数。

高中定义

设 \(A\) 和 \(B\) 是非空的数集，如果如果按照某种确定的对应关系 \(f\)，使对于某个范围内的任一个 \(x\)，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的数 \(f(x)\) 与之对应，那么就称 \(f:A \rightarrow B\) 是从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个函数，记作

\[y=f(x), x \in A \]

其中，\(x\) 叫做自变量，\(x\) 的取值范围 \(A\) 叫做函数的定义域。

与 \(x\) 的值相对应的 \(f(x)\) 叫做函数值，函数值的集合 \(\{f(x),x\in A\}\) 叫做函数的值域。

函数的实质

函数实质上是从非空数集 \(A\) 到非空数集 \(B\) 的一种特殊对应，这种对应可以是一对一，多对一，但不能是一对多；即 \(B\) 中数可有剩余，但 \(A\) 中不能有剩余。

函数的判断依据

判断对应关系是否是函数的依据：

  1. 两个集合是否是非空数集。
  2. 根据给出的关系，自变量 \(x\) 在定义域中的每个值，是否都有唯一的函数值与之对应。

函数相等

若两个函数定义域相同且对应法则一致，我们就称两个函数相等。

函数值域的求法

观察法

通过对函数的简单变形，观察求出函数的值域。

  1. 求函数 \(y=\sqrt x-1\) 的值域。

因为 \(\sqrt x\ge0\)，所以 \(\sqrt x-1\ge-1\)，可得函数 \(y=\sqrt x-1\) 的值域是 \(\{y|y\ge-1\}\)。

配方法

通过对函数进行配方，再结合二次函数的性质求值域。

  1. 求 \(y=x-2\sqrt x+3\) 的值域。

因为 \(y=(x-1)^2+2\)，所以函数的值域是 \(\{y|y\ge2\}\)。

换元法

通过对函数解析式适当的换元，将复杂的函数化成简单的函数。

  1. 求 \(y=x-\sqrt{x-1}\) 的值域。

令 \(t=\sqrt{x-1}\)，则 \(t \ge 0\)，则 \(x=t^2+1\)，所以 \(y=t^2-t+1\)，即 \(y=(t-\dfrac12)^2+\dfrac34\ge\dfrac34\)，所以函数的值域是 \(\{y|y\ge\dfrac34\}\)。

注意换元要写出定义域。

分离常数法

  1. 求函数 \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\) 的值域。

变形得 \(\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\)，因为 \(\dfrac{3}{x+1}\ne0\)，所以函数的值域是 \(\{y|y\ne2\}\)。

例题

  1. 求 \(y=\dfrac{3x+2}{x-2}\) 的值域。

因为 \(y=3+\dfrac8{x-2}\)，由于 \(\dfrac8{x-2}\ne0\)，所以 \(y\ne3\)。

  1. 求 \(y=x+\sqrt{1-x}\) 的值域。

令 \(t=\sqrt{1-x}\)，则 \(t\ge0\)，则 \(x=1-t^2\)，则 \(y=-t^2+t+1\)，解得 \(t_\min=\dfrac12\)，即 \(y_\max=\dfrac54\)。

  1. 求 \(y=\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+x-6}\) 的值域。

因为 \(y=\dfrac{(x+3)(x+1)}{(x+3)(x-2)}\)，即 \(\dfrac{x+1}{x-2}\) 且 \(x\ne-3\)，所以 \(y\in(-\infty,\dfrac25)\cup(\dfrac25,1)\cup(1,+\infty)\)。

定义域的求法

原则

  1. 不管题目中提到的还是问到的，只要说到定义域，都是说的 \(x\) 的范围。
  2. 对于题目中所提到的 \(f\)，同一个函数，括号里的变化范围对应相同。

例题

  1. 求 \(y=\dfrac{\sqrt-x}{2x^2-3x-2}\) 的定义域。

因为 \(\sqrt-x\ge0\)，\(2x^2-3x-2\ne0\)，则 \(x\in(-\infty,\dfrac12)\cup(\dfrac12,+\infty)\)。

  1. 若函数 \(f(x)\) 的定义域为 \([1,4]\)，求函数 \(f(x+2)\) 的定义域。

根据原则 \(2\)，\(f(x)\) 的定义域为 \([1-2,4-2]\)，即 \([-1,2]\)。

求解析式

待定系数法

若已知函数的类型，就可以根据函数类型设出函数解析式，再根据已知条件列方程。

  1. 若 \(f(x)\) 为一次函数，\(f(f(x))=4x-1\)，求函数 \(f(x)\) 的解析式。

设解析式为 \(kx+b\)，则 \(k^2x+kb+b=4x-1\)，即 \(\begin{cases}k^2=4\\kb+b=-1 \end{cases}\)，解得 \(\begin{cases}k=2\\b=-\dfrac13\end{cases}\) 或 \(\begin{cases}k=-2\\b=1\end{cases}\)。

换元法

  1. 已知 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt x\)，求 \(f(x)\) 的解析式。

令 \(t=\sqrt x+1\)，则 \(t\ge1\)，则 \(x=(t-1)^2\)，所以 \(f(t)=t^2-1\) 且 \(t\ge1\)，所以 \(f(x)=x^2-1(x\ge1)\)。

方程组法

  1. 已知 \(f(x)\) 满足 \(2f(x)+f(\dfrac1x)=3x\)，求 \(f(x)\) 的解析式。

用 \(x\) 替换 \(\dfrac1x\) 得 \(2f(\dfrac1x)+f(x)=\dfrac3x\)，由 \(①\times2-②\) 得 \(3f(x)=6x-\dfrac3x\)，所以 \(f(x)=2x-\dfrac1x\)。