《数学少年-确定与不确定》(第四章：“骰子不骗人“)
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第四章：“骰子不骗人”
游乐园西侧，靠近摩天轮的地方，有一个掷骰子的摊位。
它在两个游戏摊位的夹缝里，红布桌面被太阳晒得发白，三颗骰子装在塑料杯里，旁边立着一块手写的木牌：
掷两颗骰子，点数之和≥10，奖励小玩偶一只。
摊主是个扎马尾的年轻姑娘，正在给一个小男孩兑奖——一只巴掌大的黄色鸭子。小男孩攥着鸭子跑了。
林默站在木牌前面。“两颗骰子，和大于等于十——”
"概率是多少？"苏晚蹲下来问。
她蹲下比林默快——膝盖一弯就下去了，从包里掏出一张白纸摊在台阶上，铅笔搁在耳后。林默看着她那一串动作——掏纸、摊平、取笔——几乎同时完成的。
"我在想。"他说。
“想什么？”
“两颗骰子一共有多少种情况。”
苏晚的笔在纸面上点了一下。“六六三十六。”
“你怎么知道的？”
“每颗骰子六个面，两颗就有六乘六种。这叫——“她想了一下，”——乘法原理。如果一件事有m种做法，另一件事有n种做法，两件事合起来就有m×n种。”
林默站着，看着她画了一个表格。横着写1到6，竖着写1到6。格子被画出来了，一个六乘六的方形。
“这三十六种就是所有的情况？”
"所有。"苏晚说，“骰子不骗人。没有第三种情况。也不多一种。就是这三十六个格子。”
林默蹲下来。台阶的水泥面被太阳晒得有点温，他蹲下来的时候膝盖碰了一下地面。他看着那张表——6行，6列，36个空格。所有可能在扔出去之前都已经在这张纸上躺好了。
"这叫所有可能发生的情况。"程远的声音从后面传来。
林默转头。程远站在摊位左侧两步远的地方，不知道什么时候来的。他今天穿着一件深灰色T恤，手里什么都没拿。
"所有可能发生的情况。"林默重复了一遍。
"对。"程远说，“你要是漏了一格，算出来的概率就是错的。”
林默又低头看了一眼那张表格。三十六格，整整齐齐。一个不多，一个不少。他以前从来没想过，"算概率"之前还有一件事要做——把所有可能发生的情况全部列出来。
苏晚开始填表。她的笔尖从左上角开始——横1竖1，和是2；横1竖2，和是3；横1竖3，和是4。她一路填到横1竖6，和是7。然后第二行，横2竖1，和是3；横2竖2，和是4……她的铅笔走得稳，每写一个数，笔尖在空格里顿一下再提起来。
林默看着她的笔尖沿着格子移动。每一个格子都被填了一个数字——从2到12。他发现一个事情：有些数字只出现一次，比如2和12；有些数字出现好几次，比如7。
苏晚填完了。她把笔放下，转了转手腕。
"现在怎么算大于等于十的概率？"林默问。
“数。”
苏晚开始数。她的食指在表格上移动——4+6=10（一格）、5+5=10（一格）、5+6=11（一格）、6+4=10（一格）、6+5=11（一格）、6+6=12（一格）。她在每个符合条件的格子里画了一个小圆圈。
"六个。"她说。
“三十六里面六个——”
“六分之一。”
林默看着那六个被画了圈的小格子。它们集中在右下角。三行、但每行位置不一样——有的在中间，有的在边角。他想，如果只讲概率，六分之一就够了。但他在那个表格上看到的远不止六分之一——他看到这些格子不是均匀分布的，有些区域密，有些区域疏。
"你再数一下每行的和。"程远说。
苏晚从第一行开始数：2、3、4、5、6、7。她默数了一遍，抬头：“第一行最小是2，最大是7。”
“第二行？”
她从第二行扫过去：3、4、5、6、7、8。“最小3，最大8。”
“每一行的最大值都比上一行多一。”
“……对。”
程远没有再问。他在台阶上蹲下来，用食指在表格的每一行底部划了一下。“第一行六个格子，最小的数是2，最大的数是7。第二行最小的数是3，最大的数是8。每一行都在往右平移一格。”
苏晚低下头，自己看了一遍。“所以——每一行的和越来越大？”
"从左往右，和越来越大。从下往上，和也越来越大。"程远说，“右下角的数最大，左上角的数最小。”
林默蹲在旁边看着。他慢慢明白程远在说的是什么——不是那个具体的"六分之一"，是这张表本身长什么样子。右上角到左下角，大数和小数挤在不同的位置。整张表不是平的，有一块地方是最高点，有一块地方是最低点。
"苏晚。"他说，“你能不能把每个数字出现几次数出来？”
苏晚愣了一下。她刚才数了大于等于十的有六个。但林默说的是"每个数字"——从2到12，每一个。
她又拿起了笔。从2开始数——她用手指在表格上找了一圈，在左上角的格子里找到了一个"2"，画了一个小勾。2出现一次。3——她找了一圈，两个格子，画了两个勾。4——三个。5——四个。6——五个。7——六个。她数到7的时候，笔尖停在那个出现次数最多的数字上，没有继续。
"7出现六次。"她说。
"继续。"程远说。
8——五个。9——四个。10——三个。11——两个。12——一个。
她写完的时候，表格旁边多了一列小数字：
2→1，3→2，4→3，5→4，6→5，7→6，8→5，9→4，10→3，11→2，12→1
林默看着那串数字。它们从1开始，一路升到6，然后从6降回1。“像一座山。”
"像一座山。"程远重复了一遍，语气没有变化，但他确实重复了，像是在确认这个词可以用。
"7在最上面，出现六次。2和12在最下面，各出现一次。"林默说，“所以——两颗骰子最有可能掷出7，最不可能掷出2和12。”
“对。”
"不是所有的’和’都一样可能。"苏晚说，“以前我以为——只要把36种情况列出来，每种情况出现的概率都一样。但’点数之和’不是每种情况——它是一个事件。同一个事件可能有多种情况。”
"事件？"林默问。
“就是’你想要的那个结果’。比如’点数之和等于7’是一个事件，它有六种情况。'点数之和等于2’也是一个事件，它只有一种情况。”
“所以不同的’事件’——”
“可能性不一样。”
林默看着那张表格。他忽然理解了"事件"和"情况"的区别。一颗骰子出6——一种情况对应一个事件。两颗骰子出7——六种情况对应一个事件。情况是最小的单位，事件是你关心的那些情况的集合。
“所以算概率的时候——”
"先数清楚所有情况，再找出你关心的那些。"苏晚说。
"情况是基础，事件是目标。"林默说。
“对。”
林默把这句话在脑子里过了一遍。以前他算概率，直接想"七分之一"、“六分之一”，从来不问"这个分数是怎么来的"。现在他知道——分数下面那个数，是所有可能的情况的总数；分数上面那个数，是你关心的那些情况的数量。
"如果我想把所有可能出现的情况找全——"苏晚说。
"找全比算对重要。"程远说。
“找全了才能算对。”
"对。"程远说，“很多人算错概率，不是不会除，是少算了几种。少算一种，答案就是错的。”
苏晚沉默了一会儿，然后说：“我每次做题都很着急。想赶快算出来。”
“着急的时候——”
“着急的时候就会漏。”
“下次不着急。”
"下次不着急。"苏晚把这四个字说了一遍，像是记给自己听的。
林默把那张表格拿起来，正对着阳光看。纸有些透，铅笔写的数字从背面也能看出来，像X光片。“所以算概率的步骤，是不是这样——”
他顿了顿，自己整理了一下。
“第一步，把所有可能发生的情况找全。一个都不能漏。”
“第二步，看你关心的事件包含了哪些情况。”
“第三步，数清楚。然后除。”
"对。"程远说。
"我以前只做第三步。"林默说。
“以前很多人只做第三步。”
林默把表格放下了。他蹲在台阶上，膝盖有些发麻，但他没站起来。他看着苏晚画的那个六乘六的方阵——所有可能在落地之前就已经被网格抓住了。骰子还没有掷，纸上的答案已经有了。
"你刚才画的那种把所有可能性都写出来的方法——"他转向苏晚。
"叫列表法。"苏晚说，“把所有可能列成一张表。还有一种叫树状图——把每一种可能画成一条树枝。”
“哪个更好？”
"看情况。"苏晚说，“树状图能看清顺序——第一颗骰子先出什么，第二颗再出什么。列表法能看清整体——所有情况一次都放在眼前。”
“我想看整体。”
“列表法更适合你。”
程远站在旁边，一直没有插话。他侧身靠在摊位边沿上，看了一眼苏晚那张表格，又看了一眼林默的脸，然后说：
“那你说说，列表法和树状图有没有共同的地方？”
林默想了想。“它们都在做同一件事。”
“什么事？”
“把所有的可能性都找出来。”
“但方式不同。”
“方式不同，目标相同。”
程远没有再追问。他从摊位前面的塑料杯里拿起那两颗骰子——他是从侧面拿的，没有挡住摊主的视线——放在手心里，让林默看了一眼。
“这两颗骰子，白点红点，六个面，每一面都一样重。数学上它们是完全对称的。但在你掷出去的那一秒，落地的那一面就已经定了。你说它是不确定的，还是确定的？”
林默张了张嘴，没出声。
程远把骰子放回了杯子里。“走吧。”
他说完就转身走了。
苏晚把那张纸小心地对折，对折，再对折，塞进了书包最外面的夹层里。她站起来的时候膝盖响了一下。“他问你的那个问题——”
"知道。"林默说，“不确定还是确定。”
“你想出答案了？”
“没有。但我觉得答案不是"是"或"不是”——"
“是什么？”
“是’中间’。它在被掷出来之前是不确定的，在落地的那一瞬间变成了确定的。数学管不到那一瞬间，但它管到了所有瞬间加起来的样子。”
苏晚沉默了。她站在台阶上，书包带子搭在一侧肩膀上，压出一个深深的印痕。“这个答案——”
“嗯？”
“比’六分之一’更难。”
林默没有反驳。
他们走出游乐园的时候，太阳已经偏西了。红布桌面上那两颗骰子还在塑料杯里，白色底面被夕光照得有些发黄。
晚上回到家，林默把苏晚画的那张表格重新在脑子里走了一遍——不是具体数字，是形状。他想如果"概率"是一张地图，那么"确定"就是地图上的一个点，"不确定"就是整张地图本身。掷一颗骰子，你在地图上有六个点可以站。掷两颗，你有三十六个点。每一次掷出去，都是在选择其中一个点站上去。你不会提前知道你会站到哪里。但你知道整张地图长什么样。
他没有合上书。他往前翻了一页。
第三章。
他第一次觉得"第三章"不是"很多页纸"，是一个他可能会到的地方。
